Noviyana Sari: DETERMINAN MATRIKS

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2×2

A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}” /> tentukan determinan A</dd> </dl> </dd> </dl> <span id=$ untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad – bc

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}” /> tentukan determinan A</dd> </dl> </dd> </dl> Pertama buat minor dari a11 <dl> <dd> <dl> <dd>M11 = <img src=$ – 2 $\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}$ + 3 $\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}$ = 1(-3) – 2(-8) + 3(-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A_3×3

A = $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}” /></dd> </dl> </dd> </dl> maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah, <dl> <dd> <dl> <dd>det(A) = a11<img src=$ – 4 $\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}$ + 3 $\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}$ = 1(-3) – 4(-8) + 3(-7) = 8

Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A_3×3

A = $\begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}$

Kofaktor dari matriks A adalah

C₁₁ = -12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

$\begin{bmatrix} 12&6&-16\\ 4&2&16\\ 12&-10&16\\ \end{bmatrix}$

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

adj(A) = $\begin{bmatrix} 12&4&12\\ 6&2&-10\\ -16&16&16\\ \end{bmatrix}$

Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

$det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

Contoh

$\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix}$ = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
$X_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)}, X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... , X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}$ dimana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x₁ + 2x₃ = 6

-3x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 30

-x₁ – 2x₂ + 3x₃ = 8

Jawab:
bentuk matrik A dan b

A = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ -3 & 4 & 6\\ -1 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}” /> b = <img src=$

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

A₁ = $\begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₂ = $\begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₃ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}$

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,

$x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}$

$x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}$

$x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}$

Tes Determinan untuk Invertibilitas

Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E₁,E₂,…,E_r menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,
R=E_r…E₂ E₁ Adan,
det(R)=det(E_r)…det(E₂)det(E₁)det(E_A)Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
A= $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 6\\ \end{bmatrix}” />karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers. <h3>Mencari determinan dengan cara Sarrus</h3> <dl> <dd> <dl> <dd>A = <img src=$
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
det(A) = 64
$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{12}{64} & \frac{4}{64} & \frac{12}{64}\\ \frac{6}{64} & \frac{2}{64} & -\frac{10}{64}\\ -\frac{16}{64} & \frac{16}{64} & \frac{16}{64}\\ \end{bmatrix}” /> <h3>Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx</h3> dalam sistem aljabar linear sering ditemukan <pre> Ax = λx ; dimana λ adalah skalar</pre> sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi <pre> (λI - A) x = 0 </pre> contoh: diketahui persamaan linear <pre>x<span class=$ 1+3x2= λx1 4x1+2x2=λx2

dapat ditulis dalam bentuk
$\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$

= λ

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$
yang kemudian dapat diubah

A = $\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}$ dan x = $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$

yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$
sehingga didapat bentuk

λ I - A =

$\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}$
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

det (λ I - A) = 0 ;λ adalah eigenvalue dari A

dan dari contoh diperoleh

det (λ I - A) =

$\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}$

= 0

atau λ^2 – 3λ – 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat λ₁ = -2 dan λ₂ = 5
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I – A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh
$\begin{bmatrix} -3 & -3\\ -4 & -4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$
dengan mengasumsikan x₂ = t maka didapat x₁ = t